Bonelli nacque George Richard Bunn da Martin e Ida Bunn di Port Byron, New York. La sua famiglia in seguito si trasferì a Syracuse e presto George preferì essere chiamato Richard. Prima di decidere una carriera nella musica, Bonelli era amico di un pilota di auto da corsa e successivamente sindaco di Salt Lake City, Ab Jenkins. Bonelli studiò alla Syracuse University e i suoi insegnanti di canto includevano Arthur Alexander a Los Angeles, Jean de Reszke e William Valonat a Parigi.
Il debutto operistico di Bonelli avvenne il 21 aprile 1915 all’Accademia musicale di Brooklyn come Valentin nel Faust di Gounod. Ha fatto un tour con la Compagnia del San Carlo tra il 1922 e il 1924. Nel 1923 ha debuttato in Europa come Dardano nel Dejanice di Catalani durante la stagione del Carnevale a Modena, in Italia. Tornò in Europa nel 1924 per cantare all’Opera di Monte Carlo e alla fine fu assunto dal Théâtre de la Gaîté di Parigi. Tra il 1925 e il 1931 Bonelli si esibì con la Chicago Opera Company e tra il 1926 e il 1942 cantò spesso all’Opera di San Francisco. Il suo debutto a Chicago nel 1925 fu nel ruolo di Germont ne La traviata di Verdi con Claudia Muzio (Violetta) e Antonio Cortis (Alfredo). Il suo debutto a San Francisco fu come Figaro ne Il barbiere di Siviglia di Rossini, dopo essere apparso nella Martha di Flotow alla Grand Opera di Los Angeles nel settembre del 1926.
Cogliendo l’occasione della chiusura, per un anno, della Chicago Civic Opera, l’impresario del Met Giulio Gatti-Casazza assunse subito Bonelli per ruoli di baritono a New York. La sua prima esibizione con la Metropolitan Opera fu il 29 novembre 1932, ancora come Figaro di Rossini, durante il tour della compagnia a Philadelphia. (Fu anche il ruolo della sua ultima esibizione sul palcoscenico del 14 marzo 1945.) Il cast includeva Lily Pons (Rosina), Tito Schipa (Conte Almaviva) ed Ezio Pinza (Don Basilio). Il debutto al New York Metropolitan Opera di Bonelli avvenne il 1 ° dicembre 1932 come Giorgio Germont in La traviata di Verdi con Rosa Ponselle nei panni di Violetta e Tito Schipa nei panni di Alfredo. Rimase attivo con la compagnia del Met fino al 1945, facendo la sua ultima esibizione come Figaro di Rossini il 14 marzo dello stesso anno. Era Tonio nella prima trasmissione televisiva dal vivo dell’opera, dal Met il 10 marzo 1940 a fianco di Hilda Burke e Armand Tokatyan. Nel 1966 è tornato al Met come ospite d’onore al “Gala Farewell”, l’ultima esibizione del Metropolitan Opera nel vecchio teatro dell’opera di Broadway e della 39th Street, prima che esso si trasferisse al Lincoln Center.
Tra i suoi numerosi ruoli, Bonelli era noto per il suo repertorio verdiano come Giorgio Germont, Di Luna, Renato, Rigoletto e Amonasro, e anche per i suoi ritratti di Valentin nel Faust di Gounod, Wolfram in Wannant’s Tannhäuser, Tonio in Leoncavallo’s Pagliacci, Rossini’s Figaro, Enrico Ashton in Lucia e Sharpless di Donizetti in Madama Butterfly di Puccini. In Italia, si è esibito con il nome di Riccardo Bonelli. Inoltre è apparso in due film: un ruolo secondario in Enter Madame del 1935 e un’apparizione cameo nel 1941 in The Hard-Boiled Canary.
Dopo essersi ritirato dal canto, Bonelli divenne un insegnante di successo al Curtis Institute of Music di Philadelphia, alla Music Academy of the West di Santa Barbara e a New York. Tra i suoi studenti c’erano Frank Guarrera, Enrico Di Giuseppe, Lucine Amara e Norman Mittelmann. Nel 1949, quando Edward Johnson si ritirò dalla sua posizione di direttore generale del Metropolitan Opera, Bonelli fu uno dei contendenti per quel ruolo, che alla fine andò a Rudolf Bing. Il baritono preferito di Bonelli era Titta Ruffo. Il baritono americano Robert Merrill dichiarò che Bonelli era stato colui che l’aveva ispirato a studiare il canto, dopo averlo ascoltato interpretare il Conte di Luna al Met insieme con Giovanni Martinelli ed Elisabeth Rethberg nel 1936. Anche dopo essersi ritirato dall’insegnamento, Bonelli si esibì periodicamente sul palcoscenico negli anni ’80. Le sue ultime apparizioni furono prevalentemente sulla costa occidentale degli Stati Uniti. Era lo zio dell’attore Robert Stack. Bonelli morì a Los Angeles il 7 giugno 1980 all’età di 91 anni.